RELASI dan FUNGSI

RELASI & FUNGSI

A.    Fungsi → suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan ( daerah asal/domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan.

Himpunan nilai yang diperoleh disebut Daerah hasil.

   

Ø  Daerah asal fungsi

Daerah asal/domain dari suatu fungsi adalah nilai dari variable bebas x  sedemikian sehingga nilai dari variable tidak bebas f(x) terdefinisi.

a)    Jenis-jenis fungsi

i)      Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ Є Ʌ dengan a₁tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁= a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

ii)    Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

iii)  Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

A.    Relasi
            Relasi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan).
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Contoh :
A= {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.
keterangan: Buyung suka IPS dan kesenian, Doni suka Ketrampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode:

·       Dengan metode diagram panah

•  Dengan metode diagram Cartesius

·       Dengan metode himpunan pasangan berurutan

{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}

A.    Perbedaan yang mendasar antara Fungsi dan Relasi adalah :
Untuk Fungsi : tiap anggota A hanya mempunyai pasangan 1 saja di B.
Tetapi untuk Relasi : Tiap anggota A boleh mempunyai pasangan lebih dari 1 di B.
Sebagai contoh Relasi tapi bukan Fungsi:

Relasi dan juga Fungsi :

Bukan Relasi dan juga bukan fungsi :

Contoh yang terakhir ini bukan relasi maupun fungsi, dikarenakan ada anggota A (domain) yang tidak mempunyai pasangan. Karena syarat relasi adalah tiap anggota A mempunyai pasangan di B. Jika dia bukan relasi apalagi fungsi.

Relasi terkadang juga ditulis dengan menggunakan pasangan berurut :
Misal relasi A adalah {(1,3),(1,4),(2,6),(7,5)}
Maka domainnya adalah {1,2,7}. Dan daerah hasilnya(range) adalah {3,4,5,6}.
Jika ditanya , apakah relasi tersebut adalah fungsi ? Tentu saja jawabannya adalah BUKAN FUNGSI. Kenapa? Karena anggota Domain ada yang memiliki 2 pasangan, siapa? Yaitu 1 dimana 1 berpasangan dengan 3 dan juga dengan 4. Maka relasi tersebut bukanlah Fungsi.

v  Contoh berikutnya :Misal saya punya domain A={1,2,3,4,5} dan kodomain B={2,3,4,5,6,7}. Dengan relasi lebih 1 dari .
Maka relasi yang saya bentuk adalah : Relasi A ke B= {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}. Mengapa 7 tidak termasuk dalam relasi, karena 7 lebih 1 dari 6, tetapi 6 tidak ada di domain, maka 7 tidak termasuk dalam relasi. Artinya daerah hasilnya hanyalah {2,3,4,5,6}.

Paham sudah membedakan range dengan kodomain kan? Selanjutnya jika ditanya apakah

relasi ini juga fungsi? Tentu saja YA.

Kemudian berikutnya ,
Fungsi juga biasanya ditulis dengan y=f(x).
Dimana y adalah variabel bebas, dan x adalah variabel terikat.
Sebagai contoh, Domain X={1,2,3}, Cari daerah hasil dengan menggunakan aturan fungsi y=3x+7, maka kita dapatkan :
Untuk x=1 , y=3.1+7=10
Untuk x=2, y=3.2+7=13
Untuk x=3, y=3.3+7=16
Maka di dapat daerah hasil nya adalah {10,13,16}. Jika kita tulis dengan pasangan berurut maka : {(1,10),(2,13),(3,16)}.